λειτουργία στα μαθηματικά, μια έκφραση, κανόνας ή νόμος που ορίζει μια σχέση μεταξύ μιας μεταβλητής (η ανεξάρτητη μεταβλητή) και μιας άλλης μεταβλητής (η εξαρτημένη μεταβλητή). Οι λειτουργίες είναι πανταχού παρών στα μαθηματικά και είναι απαραίτητα για τη διαμόρφωση φυσικών σχέσεων στις επιστήμες. Ο σύγχρονος ορισμός της λειτουργίας δόθηκε για πρώτη φορά το 1837 από τον Γερμανό μαθηματικό Peter Dirichlet:
Εάν μια μεταβλητή Γ σχετίζεται τόσο με μια μεταβλητή Χ ότι κάθε φορά που έχει αντιστοιχιστεί μια αριθμητική τιμή Χ , υπάρχει ένας κανόνας σύμφωνα με τον οποίο μια μοναδική τιμή Γ καθορίζεται, τότε Γ λέγεται ότι είναι συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ .
λανθάνουσα θερμότητα σύντηξης πάγου
Αυτή η σχέση συνήθως συμβολίζεται ως Γ = φά ( Χ ). Επιπρόσθετα φά ( Χ ), άλλα συντομευμένα σύμβολα όπως σολ ( Χ ) και Π ( Χ χρησιμοποιούνται συχνά για την αναπαράσταση συναρτήσεων της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ , ειδικά όταν η φύση της συνάρτησης είναι άγνωστη ή μη καθορισμένη.
Πολλοί μαθηματικοί τύποι που χρησιμοποιούνται ευρέως είναι εκφράσεις γνωστών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, ο τύπος για την περιοχή ενός κύκλου, ΠΡΟΣ ΤΗΝ = π ρ δύο, δίνει την εξαρτημένη μεταβλητή ΠΡΟΣ ΤΗΝ (η περιοχή) ως συνάρτηση της ανεξάρτητης μεταβλητής ρ (η ακτίνα). Οι συναρτήσεις που περιλαμβάνουν περισσότερες από δύο μεταβλητές είναι επίσης κοινές στα μαθηματικά, όπως φαίνεται στον τύπο για την περιοχή ενός τριγώνου, ΠΡΟΣ ΤΗΝ = σι η / 2, το οποίο ορίζει ΠΡΟΣ ΤΗΝ ως συνάρτηση και των δύο σι (βάση) και η (ύψος). Σε αυτά τα παραδείγματα, οι φυσικοί περιορισμοί αναγκάζουν τις ανεξάρτητες μεταβλητές να είναι θετικοί αριθμοί. Όταν οι ανεξάρτητες μεταβλητές επιτρέπεται επίσης να λαμβάνουν αρνητικές τιμές - έτσι, οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός - οι συναρτήσεις είναι γνωστές ως συναρτήσεις πραγματικής αξίας.
Ο τύπος για την περιοχή ενός κύκλου είναι ένα παράδειγμα μιας πολυωνυμικής συνάρτησης. Η γενική μορφή για τέτοιες λειτουργίες είναι Π ( Χ ) = προς την 0+ προς την 1 Χ + προς την δύο Χ δύο+ ⋯ + προς την ν Χ ν ,όπου οι συντελεστές ( προς την 0, προς την 1, προς την δύο, ..., προς την ν ) είναι δεδομένα, Χ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, και όλες οι δυνάμεις του Χ μετράνε αριθμούς (1, 2, 3,…). (Όταν οι εξουσίες του Χ μπορεί να είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός, το αποτέλεσμα είναι γνωστό ως αλγεβρική συνάρτηση.) Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις έχουν μελετηθεί από τους πρώτους χρόνους λόγω της ευελιξίας τους - πρακτικά οποιαδήποτε σχέση που περιλαμβάνει πραγματικούς αριθμούς μπορεί να προσεγγιστεί στενά από μια πολυωνυμική συνάρτηση. Οι πολυωνυμικές λειτουργίες χαρακτηρίζονται από την υψηλότερη ισχύ της ανεξάρτητης μεταβλητής. Τα ειδικά ονόματα χρησιμοποιούνται συνήθως για τέτοιες δυνάμεις από ένα έως πέντε - γραμμικά, τετραγωνικά, κυβικά, τετραγωνικά και κουιντικά.
Πολυωνυμικές συναρτήσεις μπορούν να δοθούν γεωμετρική αναπαράσταση μέσω αναλυτικής γεωμετρίας. Η ανεξάρτητη μεταβλητή Χ σχεδιάζεται κατά μήκος του Χ -αξίδα (οριζόντια γραμμή) και η εξαρτημένη μεταβλητή Γ σχεδιάζεται κατά μήκος του Γ - άξονας (κάθετη γραμμή). Το γράφημα της συνάρτησης στη συνέχεια αποτελείται από τα σημεία με συντεταγμένες ( Χ , Γ ) όπου Γ = φά ( Χ ). Για παράδειγμα, το γράφημα της κυβικής εξίσωσης φά ( Χ ) = Χ 3- 3 Χ Το + 2 εμφανίζεται στοφιγούρα.
προσωποποίηση του θανάτου στην ελληνική μυθολογία
κυβική εξίσωση Οικόπεδο της κυβικής εξίσωσης φά ( Χ ) = Χ 3- 3 Χ + 2. Τα γραφικά σημεία είναι όπου εμφανίζονται αλλαγές στην καμπυλότητα. Encyclopædia Britannica, Inc.
Ένας άλλος κοινός τύπος συνάρτησης που μελετήθηκε από την αρχαιότητα είναι οι τριγωνομετρικές λειτουργίες, όπως η αμαρτία Χ και συν Χ , όπου Χ είναι το μέτρο μιας γωνίας ( βλέπω φιγούρα). Λόγω της περιοδικής τους φύσης, οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται συχνά για τη μοντελοποίηση συμπεριφοράς που επαναλαμβάνεται ή κύκλων. Οι μη γωνιακές συναρτήσεις, όπως οι εκθετικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις, είναι επίσης γνωστές ως υπερβατικές συναρτήσεις.
γραφήματα ορισμένων τριγωνομετρικών συναρτήσεων Σημειώστε ότι καθεμία από αυτές τις συναρτήσεις είναι περιοδική. Έτσι, οι συναρτήσεις ημιτονοειδούς και συνημίτου επαναλαμβάνονται κάθε 2π, και οι συναρτήσεις εφαπτόμενης και ομοιομορφίας επαναλαμβάνονται κάθε π. Encyclopædia Britannica, Inc.
Οι πρακτικές εφαρμογές συναρτήσεων των οποίων οι μεταβλητές είναι πολύπλοκοι αριθμοί δεν είναι τόσο εύκολο να απεικονιστούν, αλλά παρόλα αυτά είναι πολύ εκτεταμένες. Εμφανίζονται, για παράδειγμα, στην ηλεκτρολογία και την αεροδυναμική. Εάν η σύνθετη μεταβλητή αντιπροσωπεύεται στη φόρμα με = Χ + Εγώ Γ , όπου Εγώ είναι η φανταστική μονάδα (η τετραγωνική ρίζα του −1) και Χ και Γ είναι πραγματικές μεταβλητές ( βλέπω φιγούρα), είναι δυνατόν να χωριστεί η σύνθετη λειτουργία σε πραγματικά και φανταστικά μέρη: φά ( με ) = Π ( Χ , Γ ) + Εγώ Ερ ( Χ , Γ ).
σημείο στο σύνθετο επίπεδο Ένα σημείο στο σύνθετο επίπεδο. Σε αντίθεση με τους πραγματικούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εντοπιστούν από έναν μόνο υπογεγραμμένο (θετικό ή αρνητικό) αριθμό κατά μήκος μιας γραμμής αριθμών, οι σύνθετοι αριθμοί απαιτούν ένα επίπεδο με δύο άξονες, έναν άξονα για το στοιχείο πραγματικού αριθμού και έναν άξονα για το φανταστικό στοιχείο. Αν και το σύνθετο επίπεδο μοιάζει με το συνηθισμένο δισδιάστατο επίπεδο, όπου κάθε σημείο καθορίζεται από ένα ταξινομημένο ζεύγος πραγματικών αριθμών ( Χ , Γ ), το σημείο Χ + Εγώ Γ είναι ένας ενιαίος αριθμός. Encyclopædia Britannica, Inc.
Ανταλλάσσοντας τους ρόλους των ανεξάρτητων και εξαρτημένων μεταβλητών σε μια δεδομένη συνάρτηση, μπορεί κανείς να αποκτήσει μια αντίστροφη συνάρτηση. Οι αντίστροφες συναρτήσεις κάνουν αυτό που υποδηλώνει το όνομά τους: αναιρούν την ενέργεια μιας συνάρτησης για να επιστρέψουν μια μεταβλητή στην αρχική της κατάσταση. Έτσι, εάν για μια δεδομένη συνάρτηση φά ( Χ ) υπάρχει μια συνάρτηση σολ ( Γ έτσι σολ ( φά ( Χ )) = Χ και φά ( σολ ( Γ )) = Γ , έπειτα σολ ονομάζεται αντίστροφη συνάρτηση του φά και δεδομένης της σημειογραφίας φά −1, όπου κατά συνθήκη οι μεταβλητές εναλλάσσονται. Για παράδειγμα, η συνάρτηση φά ( Χ ) = 2 Χ έχει την αντίστροφη συνάρτηση φά −1( Χ ) = Χ /δύο.
Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί μέσω μιας σειράς ισχύος. Για παράδειγμα, η άπειρη σειρά θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον καθορισμό αυτών των συναρτήσεων για όλες τις πολύπλοκες τιμές του Χ . Άλλοι τύποι σειρών και επίσης άπειρος τα προϊόντα μπορούν να χρησιμοποιηθούν όταν είναι βολικό. Μια σημαντική περίπτωση είναι η σειρά Fourier, που εκφράζει μια λειτουργία από άποψη ημιτονοειδών και συνημίτων:
σε ποια περιοχή βρίσκεται η σαβάνα georgia
Τέτοιες παραστάσεις έχουν μεγάλη σημασία στη φυσική, ιδιαίτερα στη μελέτη της κίνησης των κυμάτων και άλλων ταλαντωτικών φαινομένων.
Μερικές φορές οι συναρτήσεις ορίζονται πιο εύκολα με διαφορικές εξισώσεις. Για παράδειγμα, Γ = χωρίς Χ είναι η λύση της διαφορικής εξίσωσης ρε δύο Γ / ρε Χ δύο+ Γ = 0 έχοντας Γ = 0, ρε Γ / ρε Χ = 1 όταν Χ = 0; Γ = συν Χ είναι η λύση της ίδιας εξίσωσης που έχει Γ = 1, ρε Γ / ρε Χ = 0 πότε Χ = 0.
Copyright © Ολα Τα Δικαιώματα Διατηρούνται | asayamind.com